Das Alte Ägypten, seine Geschichte und Kunst, die beeindruckenden Bauwerke und rätselhaften Hieroglyphen faszinieren bis heute. Zahlreiche Filme bedienen sich an den Legenden über die schöne Kleopatra und die Intrigen innerhalb der Pharao-Dynastien. Die Pyramiden, Tempel-Ruinen und Grabstätten in Ägypten ziehen jährlich massenhaft Touristen an und in Museen gehören Relikte aus der Nil-Region zu den meist bestaunten Artefakten. Auch die Gottheiten aus der ägyptischen Mythologie wurden nie vergessen und finden sich heute noch in der Spiritualität, der Kunst und der Popkultur wieder.
Aber wusstest du, dass so manch eine Errungenschaft und Erkenntnis aus dem Altertum in der Wissenschaft noch immer von grosser Bedeutung ist? Die hochentwickelte vor- und frühchristliche Zivilisation schuf in ihrer mehr als viertausend jährigen Geschichte Grundlagen für ein Wissen, das in den nachfolgenden Jahrhunderten weiter ausgebaut wurde und an dem sich die Menschheit bis heute bedient.
Äusserst interessant ist darunter die Mathematik der Alten Ägypter. Die wenigen erhaltenen und bekannten Quellen, wie der Papyrus Rhind, geben uns Aufschluss über das ägyptische Zahlensystem und das weitentwickelte mathematische Verständnis der altertümlichen Gesellschaft. Entdecke mit uns die ägyptischen Zahlen, Brüche und Formeln.
Die Geschichte der ägyptischen Symbole, Zahlen und Mathematik
Es braucht nicht viel Fantasie, um sich vorzustellen, dass der Bau der Grossen Pyramiden von Gizeh sorgfältige mathematische Berechnungen und ein physikalisches Verständnis notwendig waren. Wie sonst, hätten im 3. Jahrtausend v.Chr., ohne moderne technische Hilfsmittel, solch riesige, exakt gestaltete Bauwerke entstehen können? Die heute noch erhaltenen und nach wie vor äusserst beeindruckenden Monumente waren aber nicht der einzige Anwendungsbereich der Mathematik im Alten Ägypten.
Die mathematischen Kenntnisse sowie ihre Verschriftlichung sind das Resultat einer langandauernden Entwicklung. Der Erfindung eines Zahlensystems und entsprechender Zeichen, der Entdeckung komplexer Formeln und Gesetzmässigkeiten, liegen alltägliche Probleme zugrunde, denen sich die wachsende und stetig entwickelnde Zivilisation ausgesetzt sah.
Die Notwendigkeit eines mathematischen Denkens
Die Mathematik, ihre Gesetze und Formel, sind keine Erfindung der Menschheit; sie sind von Natur aus gegeben. Die Menschen haben jedoch Zeichen und Systeme erfunden, mit deren Hilfe sie die Gegebenheiten schriftlich festhalten und mit anderen teilen können. Dieses Phänomen lässt sich in vielen von einander unabhängigen Zivilisationen auf der ganzen Welt beobachten.
Die Menschen eigneten sich ihr wissenschaftliches Denken nicht aus Spass an, sondern aus Notwendigkeit. Ob in der Physik, der Medizin oder eben der Mathematik; den theoretischen Überlegungen lagen immer praktische Probleme zugrunde, die gelöst werden mussten. Hier nur eine kleine Auswahl der Herausforderungen, denen sich die Alten Ägypter stellen mussten:
- Die Überschwemmung des Nils zerstörte Ernten und Landgrenzen
- Grosse Verwaltungsaufgaben aufgrund komplexer Steuersysteme
- Die Notwendigkeit, Aufzeichnungen zu vereinheitlichen
- Die Erfindung eines Systems zur Zählung und Aufzeichnung von Transaktionen in einem grossen Handelssystem
Das Alte Ägypten war eine der ersten grossen Zivilisationen der Menschheitsgeschichte, die so komplex organisiert war und über einen aufwändigen Verwaltungsapparat verfügte. Mit der Entwicklung der neuen Strukturen ging auch die Erfindung notwendigen Methoden einher.
Obwohl es offensichtlich ist, dass die Alten Ägypter über ein weitreichendes mathematisches Verständnis verfügten gibt es, wie bereits erwähnt, nur wenige Artefakte, die uns Aufschluss über die konkreten Kenntnisse und die verwendeten Zeichensysteme geben. Das liegt nur teilweise daran, dass seit dem Niedergang des Reiches eine lange Zeit vergangen ist und die damaligen Dokumentationsmaterialien wie Papyrus nicht witterungsbeständig sind.
Es wird davon ausgegangen, dass umfassende Dokumentationen über das zeitgenössische Wissen existierten und sorgfältig in der grossen Bibliothek von Alexandria verwahrt wurden. Leider sind die hunderttausenden Papyrusrollen der grössten Büchersammlung der Antike heute nicht mehr erhalten. Lange Zeit wurde davon ausgegangen, dass die Bibliothek von Alexandria mitsamt ihrem Inhalt bei einem Brand 48 v.Chr. zerstört wurde. Heute zieht die Forschung jedoch auch einen schrittweisen Verfall aufgrund mangelnder finanzieller Mittel in Betracht.
Entdecke das römische Zahlensystem in unserem Artikel.
Papyrus Rhind
Unser aktuelles Wissen über die Mathematik im Alten Ägypten stammt vornehmlich aus zwei Dokumenten: dem Papyrus Moskau 4676, der ungefähr auf das Jahr 1850 v.Chr. datiert wurde, und dem etwa 300 Jahre jüngeren aber viel umfangreicheren Papyrus Rhind, der im 19. Jahrhundert von dem schottischen Ägyptologen Henry Rhind entdeckt wurde.
Die nur noch in Fragmenten erhaltene Schriftrolle ist fünf Meter lang und 32 Zentimeter breit. Es handelt sich dabei um eine Art Handbuch zur Lösung alltäglicher mathematischer Probleme, beispielsweise in der Feldmessung, der Berechnung von Steuern und Abgaben oder dem Bauwesen.
Der Papyrus Rhind gibt uns Aufschluss über das ägyptische Zahlensystem und erklärt elementare Rechenoperationen für ganze positive Zahlen. Darüber hinaus finden sich darin Lösungen linearer Gleichungen, einfache Flächen- und Körperberechnungen, Verfahren zum Rechnen mit positiven rationalen Zahlen sowie arithmetische und geometrische Reihen.
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Die Zahlen der Alten Ägypter
Um das ägyptische Zahlensystem zu verstehen, hilft es, sich unser heute verwendetes System vor Augen zu halten und sich die Unterschiede und Gemeinsamkeiten bewusst zu machen.
Wir haben zu grossen Teilen das Zahlensystem der Babylonier übernommen, bei dem es sich um ein Positionssystem handelt. Das bedeutet, dass die Position einer Ziffer einen Einfluss auf ihren Zahlenwert hat. Wir verwenden zehn Ziffer, die für sich alleinstehend die Werte von null bis neun repräsentieren: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Für jeden Wert ab zehn müssen mindestens zwei Symbole miteinander kombiniert werden. Je nach Reihenfolge verändert sich der Zahlenwert. Zum Beispiel: 15 ? 51.
Eine weitere wichtige Charakteristik unseres Systems ist, dass es sich um ein Dezimalsystem handelt; wir rechnen also immer mit einer Zehnerbasis. Deswegen haben wir zehn verschiedene Ziffern zur Verfügung.
Wusstest du, dass auch im Alten China mit einem Dezimalsystem gerechnet wurde?
Genau wie wir heute, verwendeten die Ägypter ein Dezimalsystem. Sie kannten für jede Zehnerpotenz von 1 bis 1.000.000 ein eigenes Zeichen. Im Unterschied zu den von uns heute genutzten Zahlen, verfügte die ägyptische Mathematik aber über keine weiteren Ziffern.
Um alle weiteren Werte darzustellen, wurden mehrere Symbole aneinandergereiht und addiert. Es handelt sich also nicht um ein Positions-, sondern ein additives System. Um beispielsweise die Zahl 328 zu schreiben, musste also dreimal das Symbol für 100, zweimal das Symbol für 10 und achtmal das Symbol für 1 notiert werden.
Während in der Hieroglyphenschrift das Symbol für 1 ein einfacher Strich und 10 lediglich ein nach unten offener Bogen ist, werden die Symbole mit steigender Potenz immer aufwändiger. Der Wert 1.000.000 wird mit der recht komplexen Hieroglyphe für Heh, den ägyptischen Gott der Unendlichkeit dargestellt. Im alltäglichen Gebrauch ist das Schreiben und Lesen eines additiven Zahlensystems recht aufwändig und unübersichtlich. Spätestens im hunderter Bereich lassen sich Werte kaum mehr auf einen Blick erkennen. Es muss jedes Mal nachgezählt werden.
Aus diesem Grund wurde ungefähr ab dem 3. Jahrtausend v.Chr. die Zahlen in der einfacheren hieratischen Schrift notiert. Die hieratische Zahlenschrift umfasst insgesamt 36 Zeichen, mit denen sich die Zahlen von 1 bis 9.999 vereinfacht darstellen lassen. Nach wie vor werden die einzelnen Werte miteinander addiert, um den gesamten Zahlenwert zu erhalten.
Sind dir diese Zeichen zu kompliziert? Dann schau dir mal die Ziffern der Maya an, diese sind wesentlich einfacher.
Die ägyptischen Hieroglyphen-Brüche
Eine weitere Sache, die im Rhind-Papyrus enthalten war? Die Bruchzahlen und ein Verfahren zu deren Reduzierung. Die Alten Ägypter verwendeten, bis auf eine einzige Ausnahme, ausschliesslich Stammbrüche, die sie aneinanderreihten, um einen exakten Wert zu erhalten. Stammbrüche sind Bruchzahlen, bei denen eine 1 im Zähler steht; also: 1/2, 1/5 oder 1/360. Die einzige Bruchzahl ohne 1 im Zähler, für die es ein eigenes Zeichen gibt, ist 2/3.
Um andere Brüche darzustellen, müssen sie in Stammbrüche zerlegt werden. Der Bruch 3/5 setzt sich aus 1/2 + 1/10 zusammen. Die Zerlegung ist aber nicht in jedem Falle eindeutig. Die Bruchzahl 7/8 lässt sich beispielsweise zu 1/2 + 1/3 + 1/24 aber auch zu 1/2 + 1/3 + 1/30 + 1/120 zerlegen. Interessanterweise hätten die Ägypter wohl die zweite Schreibweise gewählt, da der Nenner, wenn möglich, ein Teiler von 60, 360 oder 3600 sein sollte.
Geschrieben wurden die Brüche mit den bereits oben vorgestellten Zahlen aus der Hieroglyphenschrift im Nenner sowie einem darüberliegenden Oval (Hieroglyphe für Mund). Für die Bruchzahl 2/3 wurden an der Unterseite des Ovals zwei vertikale Striche angefügt.
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Das ägyptische Dreieck
Wie weit fortgeschritten die Mathematik im Alten Ägypten war, lässt sich an einem Beispiel ganz besonders gut erkennen: dem ägyptischen Dreieck. Dabei handelt es sich um die Annäherung an einen allgemeinen Lehrsatz, der dir vielleicht schon im Mathe Unterricht begegnet ist. Lass uns ein kleines Spiel spielen! Kannst du aus folgenden drei Hinweisen erraten, um welches mathematische Gesetz es sich handelt?
- Der Satz ist nach dem griechischen Mathematiker benannt, dem seine Entdeckung zugeschrieben wird.
- Es handelt sich um ein rechtwinkliges Dreieck.
- Mit Hilfe der Formel kannst du die Seitenlängen des Dreiecks berechnen.
Na, hast du eine Vermutung? Bereits lange bevor im 6. Jahrhundert v.Chr. Pythagoras angeblich als Erster die Gesetzmässigkeit mathematisch beweisen konnte, war die Aussage des Satzes in verschiedenen Zivilisationen bekannt: In einem rechtwinkligen Dreieck steht die Länge der Hypotenuse immer im Verhältnis zur Länge der beiden Katheten.
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Das sogenannte ägyptische Dreieck ist nun ein ganz bestimmtes rechtwinkliges Dreieck. Seine drei Seitenlängen stehen im Verhältnis 3:4:5 (das kleinste Pythagoreische Tripel). Dieses Seitenverhältnis findet sich beispielsweise bei den Pyramiden von Gizeh.
Konkret wurde dieses Wissen vor allem zur Konstruktion rechter Winkel genutzt; und zwar mit Hilfe der sogenannten Zwölfkontenschnur. Dabei handelt es sich um eine ringförmig geschlossene Schnur mit zwölf Konten, die einen exakt gleichen Abstand zueinander aufweisen. Die Knoten werden verwendet, um ein Dreieck mit dem Seitenverhältnis 3:4:5 zu legen. So ergibt sich automatisch zwischen den beiden kürzeren Seiten ein rechter Winkel.
Das Pythagoreische Tripel war übrigens auch den Sumerern im Alten Babylon bereits bekannt.
Das Wissen über die Gesetzmässigkeiten rechtwinkliger Dreiecke ist aber noch längst nicht alles. Im Alten Ägypten war wohl auch bereits eine Annäherung an die Zahl Pi und die sogenannte goldene Zahl bekannt.
Du siehst also, die Alten Ägypter waren schon ziemlich gut in Mathe. Es wird davon ausgegangen, dass sie ihre Kenntnisse selbstständig, ohne den Einfluss anderer Kulturen erworben haben. Hingegen gilt als gesichert, dass das mathematische Wissen der Ägypter nach der Machtübernahme durch Alexander den grossen einen wesentlichen Einfluss auf die griechische Mathematik hatte.
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